大數字教學-以「一億以內的數」為例

謝堅老師這麼想

如何幫助學生學好數學是謝堅老師畢生致力的方向。謝堅老師是台南大學數學教育學系的教授，謝老師的教導直接明瞭，點出數學教學的盲點、通透數學概念的脈絡，網出一片數學教學的天空。打算四年級好好研究謝老師的教學重點，轉換成數學教學案例。

關於大數字的教學，老師有幾個教學重點：

1.如何讀寫大數字？老師會怎麼教？

      請讀出數字：1 0 2 4 6 3 0 2 5 4 0

•   日常生活中都使用萬進位位結構的讀法，但是教學時都強調十進位結構的意義。

   •十進結構的讀法：

• 1 0 2 4 6 3 0 2 5 4 03 0 6

•十一千百十一千百十一千百十一

•兆兆億億億億萬萬萬萬

萬進結構的讀法：

•10、2453、0254、0306

•兆   億    萬    壹

                2. 單位本身也可以被計數

                   「1百」「1千」「1萬」是單位

                  「1百」「1千」「1萬」是可以計數的單位

•   2000：2000個『1』的簡稱。

•   2千：2個『1千』的簡稱。

             3.描述『1萬』『1億』『1兆』單位時，必須引入十進位結構與萬進位結構兩套系統。

                     •逢十進一：10個1萬是1個十萬

          •逢萬進一：10000個1萬是1個1億

          •逢十進一：10個1億是1個十億

          •逢萬進一：10000個1億是1個1兆

徐老師的教學構想 

1.從舊經驗找出學習重點-學習新知識的重要策略

        低年級學過「30以內的數」「50以內的數」，三年級上學期也學過「10000以內的數」，類似這種單元，其實都是學習相同的概念，只是數字變大了，其實數學概念不難，何不趁機加深孩子的學習策略？讓他們知道學習重點的「過去」─「現在」─「未來」。

2.帶著學習重點閱讀數學課本─解析重點及問題分類

          「10000以內的數」此類問題的重點不外乎就是

            1)注意進位(滿10個進1位)，如：9個千再1個千是多少？

            2)透過位值寫出數字   如：1個萬、5個千、2個十合起來是多少？

                                                           再加10000是多少？(再加的問題是強化單位計數觀念)

            3)透過位值辨認數字大小(比大小的題目)

            因此，「一億以內的數」單元重點也是這些，帶著重點讀課本的問題讓孩子能自我監控學數學，而不是見招拆招、強記背誦。發展孩子的數學概念是我一直很想做的事情。

教學流程

1.對「一億」有感覺

今天要學什麼？一億給你什麼感覺？(對數字要有感覺是相當重要的)

數學能力弱的順凱很快地答出：很多

直覺性強的小唐：看起來很亂

反應快的千琪馬上秀出錢的味道來：好多錢喔，數都數不完

我點了數感弱的于晏：很難數，一語道出了本單元的學習重點

一億是怎麼樣的數字？

很有數感的翔譽：大的數字

2.找出以前學「一萬以內的數」的學習重點

看看電子書，以前學哪些重點？

3.運用舊經驗解決新問題

一億以內的數也是要學這些重點嗎？翻開課本找找看

數到「萬位」，是什麼重點？(滿10個進1位)

合起來是多少？是要學什麼重點？(運用定位-位值觀念寫數字)

4.認識大單位(大單位的位值和計數)

那些題目是數到大單位？(認識大單位)

這些大數字是怎麼讀？怎麼寫？(四位一數)

遇到0怎麼讀？

18205再加10000是多少？(萬的計數)考你什麼重點？(再加1個萬)

數到大單位 十萬、百萬、千萬、

讀出數字來：零要不要念

用不同顏色來區辨前後位值（萬以及個十百千）

錯誤類型：萬位只有三個位值（百萬 十萬 萬） 

十萬是可以記數的：所以看到80萬要知道8個十萬

5.萬進結構

從兩個例子發現萬進結構：9000再1000是多少？9000萬再1000萬是多少？

7個千萬，再15個百萬是多少？(7000萬+1500萬)

以了解

•十進位結構  a  萬進位結構

•2千萬3百萬4十萬5萬 a  2345萬

•萬進位結構  a  十進位結構

•2345萬 a  2千萬3百萬4十萬5萬

 從課本題目判斷學習重點

各題旁邊眉批筆記

請孩子自己講解題目要考的重點以及作答方式

這種題目要從位數比大小，不然很容易被騙（4比3大）

乘法和除法(乘除互逆)

    美玉老師教二年級孩子學習除法時，強調運用(  )進行分分看教學，讓孩子充分掌握單位數、單位量、總量，以了解乘除之間的關係。而三年級，除了正式進入除法單元，要求孩子用除法算式紀錄問題，並且學習用直式除法摘要乘法、減法計算過程。熟悉乘、除法問題後，本單元更是進一步建立乘、除法互為逆算的學習。

一、乘法和除法要教什麼?

1.乘除互逆，不就是乘法的問題，用除法來解決。除法的問題用乘法解決嗎？如果是，孩子面對3×(  )=12、(  ) ×4=12、(  ) ÷4=3，可能還說得過去，但是12÷(  )=3，似乎就不是這樣解決的。再者，孩子在完全“無知”狀態，無感的面對一堆數字、符號，很快的，船過水無痕，很快就忘記了。當新的知識要能與舊知識結合時才算是學習。何況，面對計算題勉強可以應付，如果是文字題呢？歸咎孩子的語文程度不好，所以讀不懂文字題嗎？其實是孩子根本不知道文字題要學的數學概念是什麼，困在數學迷宮中，彷彿是走入文字的迷霧中，背負了無辜的原罪啊。因此，乘除互逆是從什麼經驗出發？建立乘除互逆概念後，又要如何運用在未知題目上呢？

2.乘除互逆的關係，建立在除法的基礎上。因此，學習乘除互逆的問題，要先回到乘法及除法的概念，再找出兩者之間的關係。三年級上學期，孩子學習除法時，在除法情境下(包含除和等分除)，能夠用乘法和減法來解決除法的問題，接著再學習除法算式來做摘要紀錄。也就是說，孩子面對除法問題，必須學習兩種紀錄方式，1使用乘法算式簡化過程紀錄(從連減算式過渡到乘法算式)2用除法算式摘要紀錄(把乘法減法算式用除法算式表示)。如此一來，孩子可以解決除法問題，一方面增強乘除互為逆算的經驗。

3.乘法和除法之間的關係：

乘法：單位量×單位數＝總量

包含除：總量÷單位量＝單位數

等分除：總量÷單位數＝單位量

*4.看了上述乘除之間關係，除法是乘法的逆運算，而乘、除法的重要構成元素，就是「單位量」、「單位數」和「總量」。所以，如何讓學生也能完全掌握三者之間的關係與位置，成了這個單元最重要的教學目標。

*5.掌握乘除互逆的概念後，孩子可以利用概念，驗算乘除的問題以及解決未知問題(乘數與被乘數未知問題、除數和被除數未知問題)。

*6.用(   )做問題紀錄。首先，孩子要回到原本題目語意的情境中，在乘法情境(倍的語意問題)，學習用(  )和乘法算式記錄問題。在除法情境(分的語意情境)學習用(   )和除法算式記錄問題。如何幫助孩子使用算式填充題來記錄文字題是相當重要的，因為表示孩子懂得乘法、除法的語意情境，是理解問題的重要訓練。接著才是運用乘除互逆概念來計算。但是南一版卻沒有要求學生運用( )做問題紀錄。例如：乘數未知問題，課本沒有要求孩子要用( )紀錄乘法算式再用除法計算答案，反而要學生直接用除法算式解決乘數未知問題。數學是一連串的概念學習，少了一個概念的訓練，都會造成孩子無法全盤理解的錯誤。

二、乘除互逆的教學實錄

(一) 檢測學生的「舊經驗」

從積木-最原始的數量關係學數學。

揭示綠色積木(3個1條)4條，和12個白色積木。

1.     看到綠色積木和白色積木，讓你想到什麼？

2.     你可以用算式來寫3、4、12嗎？

孩子很快可以用3*4=12來回答，

但是，邏輯概念強的小棠很快說出12÷3=4

3.     看著積木和算式，想一想可以出什麼文字題？（文字題提供具體情境加深理解）

4.     3*4=12 用三句話表示分別是3個巧克力一包，有四包，共幾個

換成除法算式，根據剛剛的文字題，可以怎麼說？

5.     你從這兩個文字題有什麼發現？（幫助孩子比較乘除情境的語意不同，同時也發現乘除情境的數字意義是一樣的）

6.     3、4、12代表什麼意思？（帶入單位量、單位數、總量概念，孩子可能不一定能說出抽象概念也不需要，只要知道單位量是一次的量，單位數是數幾次即可）

發現乘除互逆的關係

從積木、數線到文字題

(二) 從舊經驗→課本的算式填充題

從畫圈再次強化乘除互逆的概念（單位量、單位數、總量關係）

從兩種除法的情境（包含除和等分除）用畫圈的方式幫助孩子了解單位量、單位數和總量的關係。

感謝備課趴老師提供簡單又容易執行的方式，我自己的案例是數字太大，孩子不容易形成概念，畫起來也比較費時。提問1課堂上沒有問，可以做為下次教學的補充。

1. 6個巧克力（畫圈）可以怎麼分？怎麼列除法算式？（包含除和等分除）同樣情境，乘法算式又是怎麼列的？

2. 72÷9=8 是什麼意思？文字題怎麼想？從兩種除法情境，列出兩種乘法算式。3.（）的用途以標示

想一想，題目可以把哪裡挖空，用什麼符號表示？

挖空的地方就是不知道的部分，問的問題也不同？（這個訓練對學生很重要，他需要知道自己不只是填缺少的數字，而知道單位數，單位量，總數之間的關係和位置）

例如：(  ) ÷9=8  (  ) ÷8=9

從乘除關係解決算式填充題的問題

畫圈、數線加強理解

畫圈對理解力較弱的孩子是非常重要的

他們需要畫圈輔助數線

上8下1數字需要分別出來，需要把1圈起來表示次數

用乘除互逆解決未知數問題待續。